Google+ Followers

Wednesday, March 20, 2013

[LeetCode] Unique Binary Search Trees, Solution


Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?
For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.
   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3
» Solve this problem

[Thoughts]
这题想了好久才想清楚。其实如果把上例的顺序改一下,就可以看出规律了。
 1                1                      2                       3             3
    \                 \                 /      \                  /              /
      3               2              1       3               2             1
    /                   \                                       /                  \
 2                       3                                   1                    2

比如,以1为根的树有几个,完全取决于有二个元素的子树有几种。同理,2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况,则与1相同。

定义Count[i] 为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目,

如果数组为空,毫无疑问,只有一种BST,即空树,
Count[0] =1

如果数组仅有一个元素{1},只有一种BST,单个节点
Count[1] = 1

如果数组有两个元素{1,2}, 那么有如下两种可能
1                       2
  \                    /
    2                1
Count[2] = Count[0] * Count[1]   (1为根的情况)
                  + Count[1] * Count[0]  (2为根的情况。

再看一遍三个元素的数组,可以发现BST的取值方式如下:
Count[3] = Count[0]*Count[2]  (1为根的情况)
               + Count[1]*Count[1]  (2为根的情况)
               + Count[2]*Count[0]  (3为根的情况)

所以,由此观察,可以得出Count的递推公式为
Count[i] = ∑ Count[0...k] * [ k+1....i]     0<=k<i-1
问题至此划归为一维动态规划。

[Code]
1:       int numTrees(int n) {  
2:            vector<int> count(n+1, 0);  
3:            count[0] =1;  
4:            count[1] =1;  
5:            for(int i =2; i<=n; i++)  
6:            {  
7:                 for(int j =0; j<i; j++)  
8:                 {  
9:                      count[i] += count[j]*count[i-j-1];   
10:                 }  
11:            }  
12:            return count[n];  
13:       }  


[Note]
这是很有意思的一个题。刚拿到这题的时候,完全不知道从那下手,因为对于BST是否Unique,很难判断。最后引入了一个条件以后,立即就清晰了,即
当数组为 1,2,3,4,.. i,.. n时,基于以下原则的BST建树具有唯一性:
以i为根节点的树,其左子树由[0, i-1]构成, 其右子树由[i+1, n]构成。



Post a Comment